サーモスタットが固着するとヒーターコアのオーバーフローホースから不凍液が出てくるのでしょうか？

いいえ、サーモスタットが固着しても、ヒーターコアのオーバーフローホースから不凍液が出てくることはありません。サーモスタットが固着すると車両が過熱する可能性がありますが、ラジエターキャップは車両が高温になりすぎた場合に冷却剤/不凍液が出る場所です。